Abanicar es un verbo que se refiere a la acción de hacer aire con el abanico.
- Tú abanicas con mucha fuerza.
- Ellos han estado abanicando durante media hora.
Abaniquear no se encuentra registrado en la RAE.
Pero abaniqueo funciona como sustantivo asociado a la acción de abanicar. También, se refiere a una suerte de la tauromaquia.
- Un suave abaniqueo me refresca.
- Después de un abaniqueo por la cara complació la ilusión taurina.